FÍSICA CUÁNTICA. Convocatoria de Septiembre. 5/9/2002.

1. Una partícula de masa $m$ está ligada en un potencial $V(x)=-a \delta(x)$, $a>0$. Encontrar el valor de $x_0$ tal que la probabilidad de encontrar a la partícula en la región $\vert x\vert<x_0$ sea exactamente igual a 1/2.

(2.5 puntos)

2. En $t=0$ una partícula en un potencial $V(x)=m \omega^2 x^2/2$ está descrita por la siguiente función de onda:

$$\psi(x,t=0)=A \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{\sqrt 2} \right)^n \psi_n(x)$$

donde $\psi_n(x)$ son los autoestados ortonormales del oscilador armónico con energías $E_n=(n+1/2) \hbar \omega$.

• Calcular la constante de normalización $A$.

• Escribir $\psi(x,t)$ para $t>0$.

• Encontrar el valor medio de la energía en $t=0$.

(2.5 puntos)

3. Una partícula de masa $m$ está ligada en un potencial tridimensional

$$V(x,y,z)=\frac{k}{2}\left(x^2+y^2+z^2+\lambda x^4 y^2\right)\; .$$

Si consideramos el término $k \lambda (x^4 y^2)/2$ como una perturbación, calcular la energía del estado fundamental.

(2.5 puntos)

4. Calcular el estado fundamental del calcio (Ca), $Z=20$, primero en presencia de la interacción residual y posteriormente teniendo en cuenta la interacción espín-órbita. Realizar un esquema del desdoblamiento del estado fundamental en presencia de un campo magnético intenso.

(2.5 puntos)

Ayuda:

• Es útil la siguiente suma:
  
  $$\sum_{n=0}^\infty n/2^n=2\; .$$
  
  

• La función de onda del estado fundamental de un oscilador armónico, con potencial $V(x)=\frac{1}{2} k x^2$, es
  
  $$\psi_0(x)= \left(\frac{a}{\sqrt{\pi}} \right)^{1/2} \exp(-a^2x ^2/2) ,$$
  
  
  donde $a^2=m \omega/\hbar$ y $\omega=\sqrt{k/m}$.

• Las siguientes integrales son útiles,
  
  $$\int_0^\infty dx~ x^4 \exp(-x^2)=\frac{3}{8} \sqrt{\pi} .$$
  
  
  
  
  $$\int_0^\infty dx~ x^2 \exp(-x^2)=\frac{1}{4} \sqrt{\pi} .$$