FÍSICA CUÁNTICA. Primer examen parcial. 7/3/2002.

1. En el estado fundamental del átomo de He$^+$, determinar según el modelo de Bohr, las siguientes cantidades (en unidades SI): radio de la órbita, momento angular, velocidad lineal, momento lineal, velocidad angular, energía cinétia, energía potencial, y energía total.

¿Cómo varían las cantidades anteriores en función del número cuántico $n$?

(2.0 puntos)

2. Consideremos un mundo imaginario donde la constante de Planck fuera del mismo orden de magnitud que la acción que desarrolla un ciclista (terrestre) de 80 kg de masa en una contra-reloj de 50 km realizada a una velocidad constante de 50 km/h .

Discutir si es factible medir, en el citado mundo imaginario, la velocidad de un automóvil de 2000 kg de masa con un error de 10 km/h.

(2.0 puntos)

3. Una partícula está confinada en un pozo cuadrado infinito de anchura $a$ ($0\le x \le a$) y tiene como función de onda (no normalizada) en $t=0$:

$$\psi(x,t=0)=A \sin^3(\pi x /a) \;.$$

1. Escribir $\psi(x,t)$ (normalizada). ¿Es un estado estacionario? Justificar la respuesta.
2. Calcular $\langle x \rangle$ en el estado $\psi(x,t)$.
3. Si medimos la energía, ¿qué valores se pueden encontrar y con que probabilidades? Calcular $\langle H \rangle$, donde $H$ es el Hamiltoniano del sistema.

(3 puntos)

4. En un experimento real realizado por Jönsson, los electrones acelerados en una diferencia de potencial $V$ inciden normalmente sobre una pantalla situada en el plano $z=0$ que tiene dos aberturas situadas en los puntos $(0,d/2,0)$ y $(0,-d/2,0)$ repectivamente. Los electrones son registrados en una pantalla que esta en el plano $z=D$. En lo que sigue supondremos que $d \ll D$ y nos restringiremos a puntos P sobre la segunda pantalla situados a una distancia de $(0,0,D)$ a lo sumo del orden de magnitud de $d$.

1. ¿Cuál es la distancia entre dos máximos adyacentes del diagrama de franjas de interferencia?

2. Evaluar la distancia calculada en el apartado 1) para los siguientes valores experimentales: $D=35$cm, $d=2 \mu$m y $V=50$keV. Calcular también la longitud de onda de los electrones.

3. Si queremos conocer por cuál de las dos ranuras pasa el electrón usando fotones, ¿cuál debería ser la longitud de onda de los fotones? Si conocemos por donde pasan los electrones, ¿qué le ocurrirá al diagrama de interferencia?

(3 puntos)

Ayuda. Para obtener el resultado de la distancia entre los máximos de interferencia basta considerar que cada una de las aberturas es una fuente puntual de ondas esféricas $\mathrm{exp}(i k r)/r$.