FÍSICA CUÁNTICA. Curso 1999/2000.

Examen Final. Convocatoria de Septiembre. 6/9/2000.

El examen consta de cuatro problemas (cada uno con dos subapartados) en dos hojas.

Problema 1.

• El Sol tiene una masa $M=1.989 \times 10^{30}$ kg y un radio $R=6.06 \times 10^{10}$ cm y emite aproximadamente como un cuerpo negro a 5700 K. ¿Qué energía es emitida cada año en forma de radiación? ¿Qué fracción de la masa solar representa esta energía?

  (1.25 puntos)

• La sección eficaz total de neutrinos con nucleones es de $10^{-48}$ m$^2$/nucleón. Estimar el recorrido libre medio de un neutrino en el centro del Sol donde la densidad es de $\rho \approx 10^5$ kg/m$^3$.

  (1.25 puntos)

Problema 2.

• Un electrón está confinado en una caja de paredes impenetrables de anchura $10^{-10}$ m. 1) Estimar usando el principio de incertidumbre la energía del estado fundamental (en eV) y comparar con el resultado exacto. 2) Usando el resultado exacto, ¿cuánta energía sería necesaria para llevar al electrón desde el estado fundamental al primer estado excitado (en eV)?

  (1.25 puntos)

• Un haz de radiación electromagnética de intensidad $I=3 \times 10^{-1}$ W/m$^2$ y $\lambda=456$ nm incide sobre una placa de Cesio con función de trabajo $\phi=1.93$ eV y superficie 1 cm$^2$. La corriente de electrones liberada es de $0.2\,\mu\mathrm{A}$. Calcular la eficiencia del proceso fotoeléctrico y el potencial de frenado mínimo para que no circule corriente.

  (1.25 puntos)

Problema 3.

• En el instante $t=0$ un átomo de hidrógeno se encuentra en el siguiente estado (ignoraremos en este problema el espín del electrón):
  
  $$\psi(\mathitbf{r},t=0) = A \left(2 \phi_{100}(\mathitbf{r}) ... ...(\mathitbf{r})+ \sqrt{3} \phi_{21-1}(\mathitbf{r}) \right) ,$$
  
  
  donde $\phi_{nlm_l}(\mathitbf{r})$ son las autofunciones comunes de $H$, $\mathitbf{L}^2$ y $L_z$ con energía $-13.6 ~\mathrm{eV}/n^2$. a) Calcúlese el módulo de la constante de normalización $A$ de tal manera que el estado $\psi$ este normalizado a la unidad. b) Calcular en $t=0$: $\langle H \rangle$ y $\langle L_z \rangle$. c) Escríbase $\psi(\mathitbf{r},t)$. d) ¿Qué valores de la energía se pueden encontrar al realizar una medida? y ¿con qué probabilidades? e) Sobre el estado $\psi$ se mide $L_z$ encontrándose el valor $+\hbar$ y $\mathitbf{L}^2$ obteniéndose $2 \hbar^2$. Escribir la función de onda después de la medida anterior.

  (1.25 puntos).

• Calcular, en primer orden en teoría de perturbaciones, la energía del estado fundamental del átomo de hidrógeno en presencia de un campo eléctrico constante $\mathitbf{E}= \vert\mathitbf{E}\vert \mathitbf{u}_z$. La presencia del citado campo eléctrico añade un término adicional, al Hamiltoniano original ($H_0$), dado por: $H_1=-e \mathitbf{E}\cdot \mathitbf{r}$.

  (1.25 puntos).

Problema 4.

• Sea el siguiente potencial
  
  $$V(x)=\left\{ \begin{array}{c l} \infty, & x<0 , \\ 0, & 0 < x<a , \\ V_0, & x>a , \end{array}\right.$$
  
  
  donde $V_0>0$. 1) Calcular la ecuación trascendente que satisface la energía de los estados ligados, para $0<E<V_0$. 2) Sin realizar ningún cálculo adicional, dibujar cualitativamente la función de onda del estado fundamental.

  (1.25 puntos).

• Se prepara un estado con proyección de espín $+\hbar/2$ según la dirección del eje $OZ$. 1) ¿ Cuál es el valor esperado del operador $\sigma_y$ en este estado? 2) Si posteriormente medimos el espín en la dirección (0,1,1), ¿ Cuáles son los posibles resultados de la medida y con qué probabilidades?

  (1.25 puntos).

Ayuda:

• Constantes:

  $h=6.626\, 068\, 76\times 10^{-34} ~{\mathrm J}\cdot {\mathrm s}$.

  $c=299\, 792\, 458$ m/s.

  La carga del electron: $e=-1.602\, 176\, 462 \times 10^{-19}$ C.

  La constante de Stefan-Boltzmann: $\sigma=5.670\, 400\times 10^{-8}$ W/(m$^2$ K$^4$) .

  La masa del protón: $m_p=938.272\, 31$ MeV/c$^2$ .

  La masa del electrón: $m_e=9.109\, 389\, 7 \times 10^{-31}$ kg .

• El operador de espín para partículas de espín $\frac{1}{2}$ es $\mathitbf{S}= \frac {\hbar}{2} { \mbox{\boldmath$\sigma$}}$, donde ${ \mbox{\boldmath$\sigma$}}=(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$ son las matrices de Pauli dadas por:
  
  
  $\sigma_x=\left( \begin{array}{c c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) ,$ $\sigma_y=\left( \begin{array}{c c} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right) ,$ $\sigma_z=\left( \begin{array}{c c} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) .$

• La función de onda del estado fundamental de un átomo de hidrógeno es
  
  $$\phi_{100}(\mathitbf{r})= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left( \frac{1}{a_0} \right)^{3/2} \exp(-r/a_0) \,,$$
  
  
  donde $a_0= 4 \pi\epsilon_0 \hbar^2/(\mu e^2) \simeq 0.529 \times 10^{-10}~ \mathrm{m}$ es el radio de Bohr. La energía del estado fundamental está dada por:
  
  $$E_1=-\frac{e^2}{2 (4 \pi \epsilon_0) a_0}\simeq -13.6 ~\mathrm{eV}\, .$$