FÍSICA CUÁNTICA. Curso 1999/2000.

Segundo Parcial. 19/5/2000.

El examen consta de cinco problemas en dos hojas.

1. Sea $\mathitbf{J}$ el operador momento angular de un sistema. Sea $\psi$ un autoestado de $J_z$. Calcular $\langle J_x\rangle_\psi$ y $\langle J_y\rangle_\psi$. Ayuda: Usar las reglas de conmutación del momento angular. (2 puntos).

2. Se prepara un estado con proyección de espín $-\hbar/2$ según el eje $X$. ¿Cuál será la probabilidad de que al medir, sobre el estado anterior, la proyección del espín según el eje $Y$ se obtenga $-\hbar/2$? (2 puntos).

3.a Calcular $\langle p^4 \rangle_{\psi_0}$, donde $\psi_0$ es la función de onda del estado fundamental de un oscilador armónico con potencial $V(x)=\frac{1}{2} k x^2$. $p$ es el operador momento lineal. (1 punto).

3.b Calcular, en primer orden en teoría de perturbaciones, la energía del estado fundamental de un oscilador armónico (con potencial $V(x)=\frac{1}{2} k x^2$) sometido a una perturbación $W= b x^4$. (1 punto).

4. Calcular las ecuaciones trascendentes que satisface la energía de los estados ligados, para $E>V_0$, en el siguiente potencial

$$V(x)=\left\{ \begin{array}{c l} \infty, & \vert x\vert> d ,... ...vert x\vert<d , \\ 0, & \vert x\vert<a , \end{array}\right.$$

donde $V_0>0$ y $d>a>0$.

Ayuda: Resuélvase primero la ecuación de Schrödinger para las funciones pares y luego para las impares. (2 puntos).

5. En el instante $t=0$ un átomo de hidrógeno se encuentra en el siguiente estado (ignoraremos en este problema el espín del electrón):

$$\psi(\mathitbf{r},t=0) = \frac{1}{\sqrt3} \left(\phi_{420}(\... ...i \phi_{310}(\mathitbf{r})+\phi_{31-1}(\mathitbf{r}) \right) ,$$

donde $\phi_{nlm_l}(\mathitbf{r})$ son las autofunciones comunes de $H$, $\mathitbf{L}^2$ y $L_z$ con energía $-13.6 ~\mathrm{eV}/n^2$. a) Calcúlese en t=0: $\langle H \rangle$, $\langle \mathitbf{L}^2 \rangle$ y $\langle L_z \rangle$. b) Escríbase $\psi(\mathitbf{r},t)$. c) ¿Qué valores de la energía se pueden encontrar al realizar una medida? y ¿con qué probabilidades? d) Contestar las preguntas del apartado c) suponiendo que se mide $\mathitbf{L}^2$ en vez de la energía. e) ¿Es un estado estacionario? (2 puntos).

Ayuda:

• Las reglas de conmutación del momento angular $\mathitbf J=(J_x, J_y,J_z)$ son:
  
  $$[J_x, J_y]=i \hbar J_z, \,\,\, [J_z, J_x]=i \hbar J_y, \,\,\, [J_y, J_z]=i \hbar J_x \,\,\, .$$
  
  

• El operador de espín para partículas de espín $1/2$ es $\mathitbf{S}= \frac {\hbar}{2} { \mbox{\boldmath$\sigma$}}$, donde ${ \mbox{\boldmath$\sigma$}}=(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$ son las matrices de Pauli dadas por:
  $\sigma_x=\left( \begin{array}{c c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) ,$ $\sigma_y=\left( \begin{array}{c c} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right) ,$ $\sigma_z=\left( \begin{array}{c c} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) .$

• La función de onda del estado fundamental de un oscilador armónico, con potencial $V(x)=\frac{1}{2} k x^2$, es
  
  $$\psi_0(x)= \left(\frac{a}{\sqrt{\pi}} \right)^{1/2} \exp(-a^2x ^2/2) ,$$
  
  
  donde $a^2=m \omega/\hbar$ y $\omega=\sqrt{k/m}$.

• Las siguientes integrales son útiles,
  
  $$\int_0^\infty dx~ x^4 \exp(-x^2)=\frac{3}{8} \sqrt{\pi} .$$
  
  
  
  
  $$\int_0^\infty dx~ x^2 \exp(-x^2)=\frac{1}{4} \sqrt{\pi} .$$