FÍSICA CUÁNTICA. Curso 1999/2000.

Examen Final. 23/6/2000.

El examen consta de cuatro problemas en dos hojas. Cada problema tiene dos subapartados. Los dos primeros problemas corresponden al primer parcial y los dos últimos al segundo parcial.

Problema 1.

• La energía electromagnética radiada por el Sol como función de la longitud de onda presenta un máximo a $\lambda_\mathrm{max} \simeq 5 \times 10^{-7} \mathrm{m}$. Suponiendo que el espectro corresponde al de un cuerpo negro, determínese la temperatura de la superficie del Sol. ¿En qué valor la energía electromagnética radiada por el Sol como función de la frecuencia tendrá un máximo? (1.25 puntos)

• Un haz luminoso monocromático de $4.0 \times 10^{-7}$ m de longitud de onda incide sobre un material cuyo potencial de frenado es 2.0 eV. El haz tiene una intensidad de $3.0 \times 10^{-9}$ W/m$^2$. Hallar: a) la energía cinética de los fotoelectrones (en eV), y b) el número de electrones emitidos por m$^2$ y por segundo. (1.25 puntos)

Problema 2.

• Un fotón de energía $10^5$ eV que viaja en la dirección positiva del eje $X$ choca con un electrón libre y en reposo. El fotón es dispersado formando su trayectoria un ángulo recto con la trayectoria del fotón incidente, moviéndose en la dirección positiva del eje $Y$. Calcular las componentes del momento del electrón después del choque. (1.25 puntos)

• Sea un partícula sometida a un potencial $V(x)= A~x^6$, donde $A$ es una constante. Determínense los niveles energéticos por medio de las reglas de cuantización de Wilson-Sommerfeld. (1.25 puntos)

Problema 3.

• En el instante $t=0$ un átomo de hidrógeno se encuentra en el siguiente estado (ignoraremos en este problema el espín del electrón):
  
  $$\psi(\mathitbf{r},t=0) = A \left(i \phi_{100}(\mathitbf{r}) + \phi_{321}(\mathitbf{r})-i\phi_{31-1}(\mathitbf{r}) \right) ,$$
  
  
  donde $\phi_{nlm_l}(\mathitbf{r})$ son las autofunciones comunes de $H$, $\mathitbf{L}^2$ y $L_z$ con energía $-13.6 ~\mathrm{eV}/n^2$. a) Calcúlese la constante de normalización $A$ (asúmase real y positiva) de tal manera que el estado $\psi$ este normalizado a la unidad. b) Calcular en $t=0$: $\langle H \rangle$ y $\langle L_z \rangle$. c) Escríbase $\psi(\mathitbf{r},t)$. d) ¿Qué valores de la energía se pueden encontrar al realizar una medida? y ¿con qué probabilidades? e) Sobre el estado $\psi$ se mide $L_z$ encontrándose el valor $-\hbar$. Si después de la medida de $L_z$, medimos $\mathitbf{L}^2$, ¿ qué valores podemos encontrar para $\mathitbf{L}^2$ ? (1.25 puntos).

• En el estudio de las correcciones relativistas en el átomo de hidrógeno aparece el operador $(\mathitbf{p}^2)^2$. Calcular en función de la energía del estado fundamental ($E_{1}$) el siguiente valor esperado:
  
  $$\frac{1}{4 \mu^2} \langle (\mathitbf{p}^2)^2 \rangle_{\phi_{100}}$$
  
  
  donde $\phi_{100}$ es la función de onda del estado fundamental del átomo de hidrógeno, $\mathitbf{p}$ es el operador momento lineal y $\mu$ es la masa reducida del sistema electrón-protón. (1.25 puntos).

Problema 4.

• Calcular las ecuaciones trascendentes que satisface la energía de los estados ligados, para $0>E>-V_0$, en el siguiente potencial
  
  $$V(x)=\left\{ \begin{array}{c l} \infty, & \vert x\vert> d ,... ...vert x\vert<d , \\ 0, & \vert x\vert<a , \end{array}\right.$$
  
  
  donde $V_0>0$ y $d>a>0$.

  Ayuda: Resuélvase primero la ecuación de Schrödinger para las funciones pares y luego para las impares. (1.25 puntos).

• Se prepara un estado con proyección de espín $+\hbar/2$ según la dirección (1,1,0). ¿Cuál será la probabilidad de que al medir, sobre el estado anterior, la proyección del espín según el eje $X$ se obtenga $+\hbar/2$? (1.25 puntos).

Ayuda:

• Constantes:

  $h=6.62606876\times 10^{-34} ~{\mathrm J}\cdot {\mathrm s}$.

  $c=299 792 458$ m/s.

  $e=1.602 176 462 \times 10^{-19}$ C.

  $k_\mathrm{B}=1.380 650 3 \times 10^{-23}$ J/K.

  La masa del electrón: $m= 511.003 ~\mathrm{keV}/c$.

• La siguiente integral es útil,
  
  $$\int_0^1 dx~ \sqrt{1-x^6}=\frac{\sqrt{\pi}}{12} \frac{\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{10}{6})} \,,$$
  
  
  donde $\Gamma(\frac{1}{6})\simeq 5.56632$ y $\Gamma(\frac{10}{6})\simeq 0.902745$.

• El operador de espín para partículas de espín $\frac{1}{2}$ es $\mathitbf{S}= \frac {\hbar}{2} { \mbox{\boldmath$\sigma$}}$, donde ${ \mbox{\boldmath$\sigma$}}=(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$ son las matrices de Pauli dadas por:
  
  
  $\sigma_x=\left( \begin{array}{c c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) ,$ $\sigma_y=\left( \begin{array}{c c} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right) ,$ $\sigma_z=\left( \begin{array}{c c} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) .$

• La función de onda del estado fundamental de un átomo de hidrógeno es
  
  $$\phi_{100}(\mathitbf{r})= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left( \frac{1}{a_0} \right)^{3/2} \exp(-r/a_0) \,,$$
  
  
  donde $a_0= 4 \pi\epsilon_0 \hbar^2/(\mu e^2) \simeq 0.529 \times 10^{-10}~ \mathrm{m}$ es el radio de Bohr. La energía del estado fundamental está dada por:
  
  $$E_1=-\frac{e^2}{2 (4 \pi \epsilon_0) a_0}\simeq -13.6 ~\mathrm{eV}\, .$$
  
  

• La densidad de energía por unidad longitud de onda para un cuerpo negro es:
  
  $$\rho_T(\lambda)=\frac{8 \pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{\exp(\frac{hc}{\lambda k_\mathrm{B} T})-1} \, .$$
  
  

• La ecuación trascendente $5 e^{-x} +x-5=0$ tiene como solución $x\simeq 4.965$.

• La ecuación trascendente $-3 e^{-x} -x+3=0$ tiene como solución $x\simeq 2.821$.