FÍSICA CUÁNTICA. Curso 1999/2000.

Primer Parcial. 3/3/2000.

El examen consta de seis problemas en dos hojas.

1. En el Universo existe un fondo de radiación electromagnética isótropa de espectro análogo al del cuerpo negro, para una temperatura de $T\simeq 3$ K. Determínese el número de fotones por cm$^3$ y su energía media (en eV). (1.5 puntos)

2. Calcular, partiendo de los postulados de de Broglie, la velocidad de fase y de grupo para un neutrino electrónico (partícula de masa nula). Discútase el resultado. (1 punto)

3. Calcúlese la sección eficaz diferencial ( $d \sigma/d \Omega$) y total ($\sigma$) en la dispersión elástica de particulas puntuales por una esfera de masa infinita y radio $R$. En la figura, $b$ es el parámetro de impacto e $i$ y $r$ son los ángulos de incidencia y de reflexión. Ayuda. a) ¿ Qué relación deben de verificar los ángulos de incidencia, $i$, y de reflexión, $r$? b) $d \Omega = 2 \pi \sin \theta d\theta$, donde $\theta$ es el ángulo que forman el momento incidente y el momento dispersado. (2 puntos)

4. Una pelota de masa $m$ bota de forma perfectamente elástica, sobre una superficie horizontal, moviéndose siempre según el eje $Oz$. Determínense los niveles energéticos por medio de las reglas de cuantización de Wilson-Sommerfeld. (1.5 puntos)

5. 1) Usando de nuevo las reglas de cuantización de Wilson-Sommerfeld calcular los niveles energéticos del potencial armónico tridimensional $V(x,y,z)=\frac{1}{2} k r^2$, donde $k$ es una constante y $r^2=x^2+y^2+z^2$. 2) Usando argumentos basados en el principio de indeterminación estimar la energía mínima del sistema. Comparar los resultados obtenidos en los apartados 1) y 2). (2 puntos)

6. El $K^0$ es un mesón inestable neutro. Su principal modo de desintegración da como resultado dos piones que por conservación de la carga han de ser ambos neutros o cargados. Consideremos en lo que sigue una desintegración en dos piones cargados. La masa del pión cargado es de 139.6 MeV/$c^2$. Se han medido los momentos (en GeV/c) de los dos piones resultantes, obteniendose en el sistema de laboratorio (datos reales obtenidos en el CERN): ${\bf p}_1=(0.120, -0.213, -0.093)$ y ${\bf p}_2=(0.301, -0.163, 0.322)$. Calcular a) la masa de $K^0$ (en MeV/$c^2$), b) el módulo del momento de $K^0$ en el sistema de laboratorio (en GeV/c) y c) su longitud de onda de de Broglie en el sistema laboratorio (en m). (2 puntos)

Ayuda:

La densidad de energía de un cuerpo negro es:

$$\rho(\nu)=\frac{8 \pi \nu^2}{c^3} \frac{h \nu}{\exp(\frac{h \nu}{k T})-1}.$$

Constantes:

$h=6.62606876\times 10^{-34} ~{\rm J}\cdot {\rm s}$.

$c=299 792 458$ m/s.

$e=1.602 176 462 \times 10^{-19}$ C.

$k=1.380 650 3 \times 10^{-23}$ J/K.

Integral:

$$\int_0^\infty ~dx~\frac{x^{s-1}}{e^x-1} = \Gamma(s) \zeta(s),\; \; {\rm si}\;\; {\rm Re \, s > 1}\, ,$$

donde $\Gamma(n)=(n-1)!$ si $n$ es un entero positivo (con $\Gamma(1)=1$) y $\zeta(2)=\pi^2/6$, $\zeta(3)=1.2020569$, $\zeta(4)=\pi^4/90$ y $\zeta(5)=1.0369277$.